隨著我國新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革的深入發(fā)展, 教材作為數(shù)學(xué)課程改革中一個不可忽略的因素,其建設(shè)的必要性、迫切性被人們所認(rèn)同. 但怎樣改革才更有效、更合理地貫徹高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念與要求?借鑒與參考國外教材的一些做法, 無疑會促進(jìn)我們的教材改革工作. 為此, 筆者選取美國部分學(xué)校正在使用的一套高中數(shù)學(xué)教材(以下簡稱教材[1 ]) , 美國芝加哥大學(xué)開發(fā)的中學(xué)數(shù)學(xué)教材(以下簡稱教材[2 ]) 兼及其他高中數(shù)學(xué)教材, 探討其對我國高中數(shù)學(xué)教材建設(shè)的幾點(diǎn)啟示.

1 應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用

美國高中數(shù)學(xué)教材十分重視數(shù)學(xué)應(yīng)用,特別是在實(shí)際生活中的應(yīng)用. 本文所涉及的數(shù)套教材更是從多角度、多層次編排了數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容, 教材中有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用的例子和習(xí)題比比皆是. 例如, 教材[1 ] 在習(xí)題部分中專門設(shè)計了應(yīng)用版塊,其內(nèi)容涉及物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、地理、歷史、建筑、文化、商業(yè)、家庭理財?shù)榷喾矫? 教材[2 ] 更是以應(yīng)用和模型化為主線,結(jié)合純數(shù)學(xué)的體系編排教材內(nèi)容.與上述應(yīng)用相關(guān)的一個問題是, 教材[2 ] 中許多內(nèi)容進(jìn)行了“模型化”處理, 也值得我們在教材設(shè)計中借鑒.

另外, 值得引起注意的是, 教材[1 ] 辟有不少小欄目, 其中有些欄目就是關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用的. 如職業(yè)介紹這一欄目, 就是專門介紹各行各業(yè)中應(yīng)用數(shù)學(xué)的事例. 教材[2 ] 在課文末了的習(xí)題部分里, 設(shè)有“探究”欄目, 要求學(xué)生去調(diào)查研究. 如, 調(diào)查一下你所在的城市或州里艾滋病人數(shù)增長的情況, 并分析怎樣的函數(shù)(線性函數(shù), 或指數(shù)函數(shù), 或?qū)��?shù)函數(shù)) 能最好地作為那些數(shù)據(jù)的模型.應(yīng)該說,我國的高中數(shù)學(xué)教材是相當(dāng)重視數(shù)學(xué)應(yīng)用的. 但另一方面, 我們應(yīng)自覺反對一些簡單做法. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用不僅僅是在例題或習(xí)題中增加幾個應(yīng)用題, 而是要在教材中貫穿應(yīng)用意識, 突出數(shù)學(xué)應(yīng)用的思想方法,增強(qiáng)應(yīng)用的實(shí)踐性、綜合性. 從數(shù)學(xué)應(yīng)用角度看, 高中數(shù)學(xué)教材的編寫應(yīng)特別重視如下兩條基本原理[3 ] : 教材設(shè)計力圖追求“社會·知識·學(xué)生”的有機(jī)統(tǒng)一;教材組織力圖體現(xiàn)“方法·學(xué)法·教法”的融于一體.

2 重視問題解決

問題解決是美國數(shù)學(xué)教育持續(xù)關(guān)注的熱點(diǎn)話題. 從美國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)1989 ( 或2000) 看, 其中一個重要的課程目標(biāo)就是問題解決:通過問題解決建立新數(shù)學(xué)知識;發(fā)展在數(shù)學(xué)內(nèi)外的情景中去形式表示、抽象、一般化的氣質(zhì); 應(yīng)用廣泛的各種方法去解決問題并使這些方法適合新的情景; 用解決問題來監(jiān)控和反映他們的數(shù)學(xué)思維. 進(jìn)而, 兩個標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為具有解決數(shù)學(xué)問題的能力是具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.

基于這些理念,教材[1 ] 每章都設(shè)有專門的課節(jié)用于對問題解決策略和應(yīng)用的介紹.另外,該教材也十分強(qiáng)調(diào)問題解決的步驟,具體按:理解問題、設(shè)計求解策略、完成解答、解釋結(jié)果四步進(jìn)行說明, 這對培養(yǎng)學(xué)生良好的問題解決的習(xí)慣是有很大幫助的. 在此基礎(chǔ)上,教材[1 ] 還小結(jié)了在問題解決過程中常使用的一些策略. 如,畫圖、列表、建立模型、猜測與驗證、建立子目標(biāo)等. 下面是教材[1 ] 提供的一個問題解決策略例題:

湯姆有一個長寬大約分別是16 英尺和12 英尺矩形狀花園. 他想現(xiàn)在在原來基礎(chǔ)上擴(kuò)大相同數(shù)目的長和寬, 使其面積增加165平方英尺. 問現(xiàn)在花園的面積是多少?

①理解問題: 已知條件是哪些?湯姆的花園是一個長寬分別是16 和12 英尺的矩形狀花園. 他增加165 平方英尺是通過增加相同數(shù)目的長與寬實(shí)現(xiàn)的. 結(jié)論是什么?問現(xiàn)在花園的面積.

② 設(shè)計求解策略(選擇策略) :畫圖、列表如圖 , 令x 表示每邊新增加的長度,那么16 + x 表示現(xiàn)在的長;12 + x 表示現(xiàn)在的寬. 又長方形的面積是長乘寬. 所以,新面積= 原來的面積+ 增加的面積.

③完成解答: (16 + x) (12 + x ) = 16 ×12 + 165 ,192 + 28 x + x2 = 192 + 165 , x2 +28 x - 165 = 0 , ( x + 33) ( x - 5) = 0 因式分解) x = - 33 或x = 5.

④解釋結(jié)論:陳述答案, 舍負(fù)數(shù)解, 每邊應(yīng)加5 英尺;檢查答案:新面積是否等于原來的面積加上增加的面積呢?現(xiàn)在的長是16 +5 = 21 英尺,現(xiàn)在的寬是12 + 5 = 17 英尺.21 ×17 ?16 ×12 + 165 ,357 = 357 成立.從上述角度反觀我國的高中數(shù)學(xué)教材建設(shè),其啟示是多方面的.

(1) 創(chuàng)設(shè)問題情境是問題解決的首要問題,是把學(xué)生引進(jìn)問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 因此,教材可抓住學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問題作為新內(nèi)容的引入, 這種引入方式不僅有利于創(chuàng)設(shè)主動的問題情境, 而且有利于學(xué)生體會到數(shù)學(xué)和每個人都有聯(lián)系,數(shù)學(xué)就在你身邊,從而吸引學(xué)生到學(xué)習(xí)中來.

(2) 數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題等內(nèi)容應(yīng)采用問題情境———建立模型———解釋———應(yīng)用與拓展的基本敘述方式來編排. 很多數(shù)學(xué)概念,象集合等都是人們從現(xiàn)實(shí)世界廣泛抽象而得. 若在教材編排上能從問題情境出發(fā),通過建立模型,逐步抽象出數(shù)學(xué)概念,然后用其解決實(shí)際問題, 可以使學(xué)生既認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實(shí), 又認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念應(yīng)用的廣泛性.

(3) 鼓勵解決問題策略多樣化. 教材應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個性差異, 其內(nèi)容設(shè)計應(yīng)反映學(xué)生思維方式的多樣化和思維水平的不同層次. 為此, 教材應(yīng)允許學(xué)生表達(dá)自己對問題的不同理解, 采取自己認(rèn)為合適的解決問題策略,呈現(xiàn)解決問題策略多樣化.

(4) 增加實(shí)踐內(nèi)容. 問題解決的過程是一個發(fā)現(xiàn)、探索與創(chuàng)造的過程. 因此,讓學(xué)生親自參與問題解決的過程就顯得尤為重要.比如,在介紹完指數(shù)和對數(shù)函數(shù)后,可設(shè)計一個探索欄目,讓學(xué)生到附近銀行看看利率,考慮做一個投資, 在有限時間得到最大回報的方案.

3 　注重數(shù)學(xué)聯(lián)系

3.1 　重視數(shù)學(xué)不同內(nèi)容和不同分支間的內(nèi)在聯(lián)系

美國高中數(shù)學(xué)教材注重滲透數(shù)學(xué)的整體觀念, 這有助于學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)是一個有機(jī)整體而不是一堆孤立的東西. 如教材[1 ] 注重函數(shù)、方程、不等式的聯(lián)系; 向量與幾何、代數(shù)、三角恒等變形的聯(lián)系. 另外,該教材還甚為重視新舊知識的聯(lián)系. 如在引入或講解新概念的時候, 總會采用復(fù)習(xí)的方式重現(xiàn)一些與新知識相聯(lián)系的舊知識.美國高中數(shù)學(xué)教材處理不同分支間的內(nèi)在聯(lián)系時,比較有代表的處理方法是“使用跨分支的綜合數(shù)學(xué)教材”[4 ] . 如邁克道格公司出版的《整體數(shù)學(xué)》,按照該教材的安排,學(xué)生在高中的三個年級同時學(xué)習(xí)代數(shù)、幾何的內(nèi)容,而且,邏輯推理、度量、概率、統(tǒng)計、離散數(shù)學(xué)和函數(shù)等專題在每個學(xué)年交替呈現(xiàn). 12 年級(高中第四學(xué)年) 學(xué)生可以選學(xué)計算機(jī)科學(xué)或微積分.

盡管我國高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容被劃分為不同模塊或?qū)ｎ}, 但數(shù)學(xué)是一個不可分割的整體. 教材編寫應(yīng)體現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系. 具體做法可以是采用混編方式組織教材內(nèi)容, 并采用螺旋式方法逐一介紹.

3.2重視數(shù)學(xué)與生活間的聯(lián)系

生活和生產(chǎn)實(shí)際是數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的源泉和動力, 也是展示數(shù)學(xué)魅力的關(guān)鍵所在. 綜觀世界數(shù)學(xué)課程改革的發(fā)展趨勢, 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系已成為各個國家課程改革的方向. 美國高中數(shù)學(xué)教材也不例外.一方面, 教材注重生活問題數(shù)學(xué)化. 教材[2 ] 中的很多素材就來源于生活實(shí)際, 它在其中收集了許多發(fā)生在人們生活中的真實(shí)的數(shù)學(xué)問題. 如,據(jù)一微波爐的說明書所載,凡食品量p 加倍時, 則煮熟它所需時間T ( p)就增加1. 5 倍. 設(shè)煮熟一份食品需用10 分鐘,問煮熟5 份食品所需的時間?(其中T ( p)= 10 p0. 585)

另一方面, 教材注重數(shù)學(xué)知識生活化.例如[5 ] , 斜率是高中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn), 若能把它和日常生活中的速度、頻率聯(lián)系起來,學(xué)生就會容易理解得多. 所以,在討論y = m x+ b 中的斜率m 時,CM 教材(美國的一套數(shù)學(xué)教材) 不是一味地討論斜率, 而是變換場景,讓學(xué)生從不同感性生活的例子來理解斜率. 如在“走路”這個場景中, m 表示的是速度、時間、距離三變量中的速度; 在“分期付款”的場景中m 則變?yōu)槊恐芄潭ǜ犊畹臄?shù)額;而在“租用溜冰鞋”的場景中m 則成為租借每雙鞋的費(fèi)用.

3.3重視數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和數(shù)學(xué)自身的發(fā)展,數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系越來越多. 如物理與數(shù)學(xué)的聯(lián)系較為緊密. 物理為數(shù)學(xué)提供創(chuàng)設(shè)問題的情境, 數(shù)學(xué)為物理提供解決問題的方法. 如前所述, 教材[1 ] 在注重數(shù)學(xué)應(yīng)用中, 就注意數(shù)學(xué)與物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、地理、歷史、建筑學(xué)等多方面的聯(lián)系. 這使學(xué)生在一個比較廣闊的知識上獲得對數(shù)學(xué)多維度、多層面的認(rèn)識、獲得對其他學(xué)科的真正理解,有助于學(xué)生在一個綜合知識背景下形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì).

4 突出數(shù)學(xué)史內(nèi)容

從歷史上看, 美國數(shù)學(xué)教材有重視數(shù)學(xué)史的傳統(tǒng). 早期的數(shù)學(xué)教材中, 常以大幅數(shù)學(xué)家的照片,冠以每章內(nèi)容之前,照片下面或者反面則是數(shù)學(xué)家的簡介,以后逐步變化.教材[1 ] 就非常重視數(shù)學(xué)史內(nèi)容, 并注意將數(shù)學(xué)史知識緊扣教學(xué)內(nèi)容. 有時在教學(xué)內(nèi)容附近介紹有關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容, 有時則將數(shù)學(xué)史的內(nèi)容作為一章或一節(jié)的引入材料. 例如,在介紹集合知識的時候,就介紹了十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家康托( Georg Cantor 1884 —1918) 發(fā)展了測量集合中元素個數(shù)的方法, 康托利用一一對應(yīng)關(guān)系, 證明有些無限集合大于其他集合. 如實(shí)數(shù)集就大于整數(shù)集, 盡管兩個集合都有無限多個元素.

另外, 值得引起注意的是, 教材[1 ] 在介紹完數(shù)學(xué)史后, 設(shè)有一個叫做調(diào)查的欄目.它在其中提出一些理論與實(shí)際的問題, 要求學(xué)生去調(diào)查研究. 如, 查閱一下康托或其他數(shù)學(xué)分支應(yīng)用集合理論的情形.相比之下, 我國教材僅僅把數(shù)學(xué)史當(dāng)作“閱讀材料”, 不入正文. 美國教材注重數(shù)學(xué)史與教材緊密結(jié)合的做法值得借鑒. 另外,我們應(yīng)關(guān)注這樣的觀點(diǎn)[6 ] :數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教材, 應(yīng)該有總體上合理的布局及介紹的視角, 且所插入的數(shù)學(xué)史內(nèi)容應(yīng)與教材恰當(dāng)?shù)厝诤?

5注重數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的整合

一方面,信息技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)深刻地改變了數(shù)學(xué)世界, 并影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式. 另一方面, 隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展,數(shù)學(xué)兼有科學(xué)和技術(shù)的雙重身份,現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)越來越表現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)技術(shù).數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的相互促進(jìn)與緊密結(jié)合, 應(yīng)反映在數(shù)學(xué)教育中.

美國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2000) 除了把技術(shù)原則作為6 項原則之一外, 還專門為書面版標(biāo)準(zhǔn)配備相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)版標(biāo)準(zhǔn). 相應(yīng)地, 美國高中數(shù)學(xué)教材特別重視計算機(jī)和圖形計算器在教與學(xué)中的應(yīng)用. 教材[1 ] 在序言中明確指出,計算機(jī)和圖形計算器的應(yīng)用貫穿全書,恰當(dāng)?shù)氖褂眠@些能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué),并發(fā)展他們對數(shù)學(xué)的深刻理解. 這使學(xué)生把精力集中在問題的思考和探究上, 促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

為此,教材[1 ] 的許多地方(如課堂教學(xué)、課外作業(yè)以及實(shí)踐活動) 都涉及信息技術(shù)的運(yùn)用. 例如,計算器的使用,雖然該教材注意學(xué)生估算、心算等技能的學(xué)習(xí),但也鼓勵學(xué)生恰當(dāng)?shù)氖褂糜嬎闫鱽斫鉀Q計算問題. 又例如,動態(tài)幾何軟件(或幾何畫板) 在數(shù)學(xué)活動中的應(yīng)用等方面. 利用幾何畫板作一次函數(shù)的圖象,這既使數(shù)學(xué)表示精確,而且也使它的動態(tài)效果能加深學(xué)生對知識的理解和掌握. 另外,該教材更是專門辟有信息技術(shù)應(yīng)用的課節(jié),鼓勵學(xué)生應(yīng)用信息技術(shù)進(jìn)行探究學(xué)習(xí)等數(shù)學(xué)活動.

當(dāng)前,我國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也從多方面強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合. 那么, 教材應(yīng)如何體現(xiàn)整合?這是教材編寫中值得注意和進(jìn)一步思考的問題.

6呈現(xiàn)方式多樣化

美國高中數(shù)學(xué)教材注重圖文并茂. 教材較多采用彩色圖畫和照片調(diào)動學(xué)生的視覺,并在圖片旁邊配以文字說明,而且,文字力求通俗易懂. 另外, 教材把重點(diǎn)內(nèi)容或概念用彩色或黑體字醒目地標(biāo)出來, 甚至用不同顏色表示不同版塊的內(nèi)容. 例如, 教材[1 ] 一般用黑體字標(biāo)記出標(biāo)題, 接著用蘭色標(biāo)記出學(xué)生應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)等等. 教材文字部分用詞淺顯,表述生動, 多以短句的方式呈現(xiàn). 這樣,通過形式多樣的表征手段呈現(xiàn), 有助于學(xué)生充分理解教材內(nèi)容.