一.整數：integer，whole number

1.因子：factor or divisor

If x and y are integers and x≠0,x is a divisor (factor) of y provided that y=xn for some integer n. In this case y is also said to be divisible by x or to be a multiple of x. For example, 7 is a divisor or factor of 28 since 28=7•4, but 8 is not a divisor of 28 since there is no integer n such that 28=8n.Divisible adj.可以被整除的multiplen.倍數

2.商和余數：quotients and remainders

余數和商都可以為0

3.奇數和偶數：odd and even integers

奇數和偶數都可以是負數；零一定是偶數

4.質數和合數：prime numbers and composite numbers

A prime number is a positive integer that has exactly two different positive divisors，1 and itself. For example, 2,3,5,7,11, and 13 are prime numbers, but 15 is not, since 15 has four different positive divisors, 1, 3, 5, and 15. The number 1 is not a prime number, since it has only one positive divisor. Every integer greater than 1 is either prime or can be uniquely expressed as a product of prime factors. For example, 14= (2) (7), 81= (3) (3) (3) (3), and 484= (2) (2) (11) (11).

注:除了1和其本身外,還有其他因子的數叫合數。最小的質數為2，最小的合數為4，在討論質數和合數時，都指正數。1和0既不是質數，也不是合數。

5.整數中的重要概念：

* Perfect square完全平方數，諸如9 = 32

* Perfect cube完全立方數，諸如8 = 23

* the greatest common divisor最大公約數

幾個數所公有的最大因子稱最大公約數，諸如：48與36的公因子有1，2，3，4，6，12，其中12為最大公約數。

* the least common multiple最小公倍數

幾個數所公有的最小倍數稱最小公倍數，諸如：3，7和14的最小公倍數為42。

*連續(xù)正整數的算術平均值也是首項和末項的算術平均值。

同理，連續(xù)奇數與連續(xù)偶數的算術平均值也是首項和末項的算術平均值。

* the properties of the number of factors因子個數的特性：

1)當一個正整數n有奇數個因子，則n必為一完全平方數。

2)除了n的平方根為其中一個因子外，小于n的平方根的因子與大于n的平方根的因子數相同。

3)當某一正整數n有偶數因子時，則n必不是完全平方數，且大于n的平方根的因子與小于其的因子數相同。

*因子數的求解公式：將整數n分解為質因子相乘的形式，然后將每個質因子的冪分別加1之后連乘所得的結果就是n的因子的個數。

例：80的因子個數可以如下方式求得：80 = 2 4•5，則因子個數為(4+1)(1+1)= 10

 

*整除特性：

能夠被2整除的數其個位一定是偶數。

能夠被3整除的數是各位數的和能夠被3整除。

能夠被4整除的數是最后兩位數能夠被4整除。

能夠被5整除的數的個位是0或5。

能夠被8整除的數是最后三位能夠被8整除。

能夠被9整除的數是各位數的和能夠被9整除。

能夠被11整除的數是其奇數位的和減去偶數位的和的差值可以被11整除。

記�。阂粋�數要想被另一個數整除，該數需含有對方所具有的質數因子。

 

*整數n次冪尾數特性：

尾數為2的數的冪的個位數一定以2，4，8，6循環(huán)

尾數為3的數的冪的個位數一定以3，9，7，1循環(huán)

尾數為4的數的冪的個位數一定以4，6循環(huán)

尾數為7的數的冪的個位數一定以7，9，3，1循環(huán)

尾數為8的數的冪的個位數一定以8，4，2，6循環(huán)

尾數為9的數的冪的個位數一定以9，1循環(huán)

例：7123和3 (321)的個位哪個大？

7和3冪的個位數均每4次循環(huán)一次，則將7123的冪指數123÷4余3，因此7123的個位數一定為3，同理將3 (321)的冪指數321÷4余1，則3 (321)的個位為3，則與7123的3 (321)個位數相同。